कुछ ज्यामितीय आकार बहुभुजों की तरह विविध हैं। उनमें परिचित त्रिभुज, वर्ग और पंचभुज शामिल हैं, लेकिन यह केवल शुरुआत है।
ज्यामिति में, बहुभुज कोई भी द्वि-आयामी आकृति है जो निम्नलिखित शर्तों को पूरा करती है:
- तीन या अधिक सीधी रेखाओं से बना है
- बिना किसी उद्घाटन या आकार के बंद है
- लाइनों के जोड़े हैं जो कोनों या शीर्षों पर जुड़ते हैं जहां वे कोण बनाते हैं
- भुजाओं और आंतरिक कोणों की संख्या बराबर होती है
द्वि-आयामी का अर्थ है कागज के टुकड़े की तरह सपाट। घन बहुभुज नहीं हैं क्योंकि वे त्रि-आयामी हैं। वृत्त बहुभुज नहीं होते क्योंकि उनमें सीधी रेखाएँ नहीं होतीं।
एक विशेष प्रकार के बहुभुज में ऐसे कोण हो सकते हैं जो सभी समान नहीं होते हैं। इस मामले में, इसे अनियमित बहुभुज कहा जाता है।
बहुभुज के बारे में
नाम बहुभुज दो ग्रीक शब्दों से मिलकर बना है:
- पाली, जिसका अर्थ है अनेक
- गॉन, जिसका अर्थ है कोण
बहुभुज की आकृतियाँ
- त्रिकोण (त्रिकोण): 3 भुजाएँ
- चतुर्भुज (वर्ग): 4 भुजाएँ
- पेंटागन: 5 भुजाएँ
- षट्भुज: 6 भुजाएँ
- हेप्टागन: 7 भुजाएँ
- अष्टकोण: 8 भुजाएँ
- नॉनगन: 9 भुजाएँ
- दशक: 10 भुजाएँ
- अंडाकार: 11 भुजाएँ
- डोडेकैगन्स: 12 भुजाएँ
बहुभुजों के नाम कैसे रखे जाते हैं
व्यक्तिगत बहुभुजों के नाम आकार में भुजाओं या कोनों की संख्या से प्राप्त होते हैं। बहुभुज में भुजाओं और कोनों की संख्या समान होती है।
अधिकांश बहुभुजों का सामान्य नाम "पक्षों" के लिए ग्रीक उपसर्ग है जो कोने (गॉन) के लिए ग्रीक शब्द से जुड़ा है।
पांच और छह-पक्षीय नियमित बहुभुजों के लिए इसके उदाहरण हैं:
- पेंटा (ग्रीक अर्थ पांच) + गॉन= पेंटागन
- हेक्सा (ग्रीक अर्थ छह) + गॉन= षट्भुज
इस नामकरण योजना के अपवाद हैं। विशेष रूप से कुछ बहुभुजों के लिए अधिक सामान्यतः उपयोग किए जाने वाले शब्दों के साथ:
- त्रिकोण: ग्रीक उपसर्ग त्रि का उपयोग करता है, लेकिन ग्रीक गॉन के बजाय लैटिन angleका प्रयोग किया जाता है। Trigon सही ज्यामितीय नाम है लेकिन शायद ही कभी इसका इस्तेमाल किया जाता है।
- चतुर्भुज: लैटिन उपसर्ग quadri से व्युत्पन्न, जिसका अर्थ है चार, शब्द पार्श्व,से जुड़ा हुआ हैजो एक और लैटिन शब्द है जिसका अर्थ है side.
- वर्ग: कभी-कभी, चार भुजाओं वाले बहुभुज (एक वर्ग) को चतुर्भुज या कहा जाता है चतुष्कोण.
एन-गॉन
10 से अधिक भुजाओं वाले बहुभुज यदा-कदा ही मिलते हैं लेकिन उसी ग्रीक नामकरण परंपरा का पालन करते हैं। तो, एक 100-पक्षीय बहुभुज को हेक्टोगोन कहा जाता है।
हालांकि, गणित में, पेंटागन को कभी-कभी अधिक आसानी से n-gons: कहा जाता है
- 11-गॉन: हेंडेकागन
- 12-गॉन: डोडेकागन
- 20-गॉन: इकोसैगन
- 50-गॉन: पेंटेकोंटागन
- 1000-गॉन: चिलीगॉन
- 1000000-गॉन: मेगगन
गणित में, n-gons और उनके ग्रीक-नाम वाले समकक्षों का परस्पर उपयोग किया जाता है।
बहुभुज सीमा
सैद्धांतिक रूप से, बहुभुज की भुजाओं की संख्या की कोई सीमा नहीं है।
जैसे-जैसे बहुभुज के आंतरिक कोणों का आकार बड़ा होता जाता है, और इसकी भुजाओं की लंबाई कम होती जाती है, बहुभुज एक वृत्त के पास पहुंचता है, लेकिन यह वहां कभी नहीं पहुंचता।
बहुभुजों का वर्गीकरण
नियमित बनाम अनियमित बहुभुज
बहुभुजों का वर्गीकरण इस आधार पर किया जाता है कि सभी कोण या भुजाएँ समान हैं या नहीं।
- नियमित बहुभुज: सभी कोण समान आकार के होते हैं, और सभी भुजाएँ लंबाई में समान होती हैं।
- अनियमित बहुभुज: समान आकार के कोण या समान लंबाई के पक्ष नहीं होते हैं।
उत्तल बनाम अवतल बहुभुज
बहुभुजों को वर्गीकृत करने का दूसरा तरीका उनके आंतरिक कोणों के आकार से है।
- उत्तल बहुभुज: 180° से बड़ा कोई आंतरिक कोण नहीं है।
- अवतल बहुभुज: कम से कम एक आंतरिक कोण 180° से बड़ा हो।
सरल बनाम जटिल बहुभुज
बहुभुजों को वर्गीकृत करने का एक और तरीका है जिस तरह से बहुभुज प्रतिच्छेद करने वाली रेखाएं हैं।
- साधारण बहुभुज: रेखाएं केवल एक बार जुड़ती या प्रतिच्छेद करती हैं - शीर्ष पर।
- जटिल बहुभुज: रेखाएं एक से अधिक बार प्रतिच्छेद करती हैं।
जटिल बहुभुजों के नाम कभी-कभी समान भुजाओं वाले साधारण बहुभुजों से भिन्न होते हैं।
उदाहरण के लिए:
- एक नियमित आकार का षट्भुज एक छह-पक्षीय, सरल बहुभुज है।
- एक तारे के आकार का हेक्साग्राम एक छह-पक्षीय, जटिल बहुभुज है जो दो समबाहु त्रिभुजों को ओवरलैप करके बनाया गया है।
आंतरिक कोणों का योग नियम
नियम के रूप में, हर बार बहुभुज में एक भुजा जोड़ी जाती है, जैसे:
- एक त्रिभुज से चतुर्भुज तक (तीन से चार भुजाएँ)
- एक पंचभुज से एक षट्भुज तक (पांच से छह भुजाएं)
एक और 180° आंतरिक कोणों के योग में जोड़ा जाता है।
इस नियम को सूत्र के रूप में लिखा जा सकता है:
(n - 2) × 180°
जहाँ n बहुभुज की भुजाओं की संख्या के बराबर है।
तो एक षट्भुज के आंतरिक कोणों का योग सूत्र का उपयोग करके ज्ञात किया जा सकता है:
(6 - 2) × 180°=720°
उस बहुभुज में कितने त्रिभुज हैं?
उपरोक्त आंतरिक कोण सूत्र बहुभुज को त्रिभुजों में विभाजित करके प्राप्त किया गया है, और यह संख्या गणना के साथ पाई जा सकती है:
एन - 2
इस सूत्र में, n बहुभुज की भुजाओं की संख्या के बराबर है।
एक षट्भुज (छह भुजाएँ) को चार त्रिभुजों (6 - 2) में और एक द्विदिशभुज को 10 त्रिभुजों (12 - 2) में विभाजित किया जा सकता है।
नियमित बहुभुजों के लिए कोण का आकार
नियमित बहुभुजों के लिए, जिनमें कोण सभी समान आकार के होते हैं और भुजाएँ समान लंबाई होती हैं, बहुभुज में प्रत्येक कोण के आकार की गणना कोणों के कुल आकार (डिग्री में) को कुल संख्या से विभाजित करके की जा सकती है। पक्षों की।
एक नियमित छह-पक्षीय षट्भुज के लिए, प्रत्येक कोण है:
720° ÷ 6=120°
कुछ प्रसिद्ध बहुभुज
जाने-माने पॉलीगॉन में शामिल हैं:
ट्रस
रूफ ट्रस अक्सर त्रिकोणीय होते हैं। छत की चौड़ाई और पिच के आधार पर, ट्रस में समबाहु या समद्विबाहु त्रिभुज शामिल हो सकते हैं। उनकी महान शक्ति के कारण, पुलों और साइकिल के फ्रेम के निर्माण में त्रिकोण का उपयोग किया जाता है। वे एफिल टॉवर में प्रमुख हैं।
द पेंटागन
द पेंटागन - अमेरिकी रक्षा विभाग का मुख्यालय - अपने आकार से इसका नाम लेता है। इमारत एक पांच तरफा, नियमित पंचकोण है।
होम प्लेट
एक और प्रसिद्ध पांच-तरफा नियमित पेंटागन बेसबॉल हीरे पर होम प्लेट है।
द फेक पेंटागन
शंघाई, चीन के पास एक विशाल शॉपिंग मॉल, एक नियमित पेंटागन के आकार में बनाया गया है और इसे कभी-कभी नकली पेंटागन कहा जाता है।
स्नोफ्लेक्स
हर हिमपात एक षट्भुज के रूप में शुरू होता है, लेकिन तापमान और नमी के स्तर में शाखाएं और टेंड्रिल जुड़ जाते हैं जिससे हर एक अलग दिखने लगता है।
मधुमक्खियां और ततैया
प्राकृतिक षट्भुज में मधुमक्खी के छत्ते भी शामिल हैं, जहां मधुकोश में प्रत्येक कोशिका जिसे मधुमक्खियां शहद धारण करने के लिए बनाती हैं वह हेक्सागोनल होती है। कागज ततैया के घोंसलों में षट्कोणीय कोशिकाएँ भी होती हैं जहाँ वे अपने बच्चों को पालती हैं।
द जायंट्स कॉजवे
हेक्सागोन पूर्वोत्तर आयरलैंड में स्थित जायंट्स कॉजवे में भी पाए जाते हैं। यह लगभग 40,000 इंटरलॉकिंग बेसाल्ट स्तंभों से बना एक प्राकृतिक चट्टान है जो एक प्राचीन ज्वालामुखी विस्फोट से लावा के रूप में बनाया गया था जो धीरे-धीरे ठंडा हो गया था।
अष्टकोण
द ऑक्टागन - अल्टीमेट फाइटिंग चैंपियनशिप (UFC) मुकाबलों में इस्तेमाल होने वाली रिंग या केज को दिया गया नाम - इसके आकार से इसका नाम लेता है। यह एक आठ भुजाओं वाला नियमित अष्टभुज है।
संकेत बंद करो
स्टॉप साइन - सबसे परिचित ट्रैफिक संकेतों में से एक - एक और आठ-तरफा नियमित अष्टकोण है। हालांकि संकेत पर रंग, शब्दांकन या प्रतीक भिन्न हो सकते हैं, दुनिया भर के कई देशों में स्टॉप साइन के लिए अष्टकोणीय आकार का उपयोग किया जाता है।